contoh soal pembuktian teorema dan pemecahan masalah menggunakan polya

Contoh salah satu pembuktian dari salah satu teorema.

Pembuktian Teorema 1.3

Tahap 1      : Akan dibuktikan untuk sembarang titik pada kedudukan tersebut memenuhi kondisi-kondisi berikut :

Diketahui           : Titik A dan B

                          Ruas garis CD tegak lurus dan membagi ruas garis AB

Ditanyakan         : Apakah untuk sembarang titik P pada ruas garis CD berjarak sama dari A dan B yaitu ruas garis PA kongruen dengan ruas garis PB ?

Rencana             :    Gambar/Sketsa permasalahan :

Harus dibuktikan segitiga PEA kongruen dengan segitiga PEB agar diperoleh PA kongruen dengan PB  

Bukti tahap 1

Jadi teorema 1.3 terbukti

Contoh pemecahan masalah menggunakan polya beserta pembuktian  teorema-teorema dilangkah-langkah tersebut:

Contoh 1

Terdapat dua buah pelampung pada sebuah danau. Seorang perenang berenang di danau tersebut sedemikian sehingga ia selalu berjarak tetap (konstan) terhadap kedua pelampung tersebut. Deskripsikan jalur renang yang ditempuh oleh perenang tersebut.

Tahap pemecahan masalah :

1)      Understanding the Problem

a.     Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

Misalkan kedua pelampung adalah titik A dan B dan perenang adalah titik C

Misalkan jarak C ke A adalah d_AC dan jarak C ke B adalah d_CB.

Maka posisi perenang yaitu C terhadap A dan B adalah kumpulan titik-titik sehingga d_CA dan d_CB selalu tetap. Berbentuk apakah kumpulan  titik-titik tersebut ?

b.     Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

Bentuk kumpulan titik-titik sehingga d_CA dan d_CB selalu tetap.

c.      Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

Jarak titik A ke B

d.     Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

Titik A dan B berbeda posisi

Jarak d_CA dan d_CB selalu tetap yaitu d_CA = d_CB untuk meskipun posisi C berubah-ubah

2)     Devising a Plan

Strategi pemecahan masalah yang mungkin dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah :

a.      Membuat diagram / gambar

Menggambarkan posisi titik A, B, dan C sesuai kondisi masalah.

b.     Menguji masalah yang relevan dan memeriksanya apa dapat digunakan

Memeriksa jika ada satu atau lebih teorema dasar kedudukan titik yang menyerupai masalah ini.

3)     Carrying Out the Plan

a.    Membuat diagram / gambar

 

b.     Memeriksa jika ada teorema kedudukan titik yang sesuai

Teorema 2.3 : Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak

terhadap ruas garis PQ dan membagi PQ menjadi dua bagian sama besar Berdasarkan gambar dan teorema tersebut maka kedudukan perenang terhadap kedua pelampung tersebut dapat dideskripsikan sebagai sebuah ruas garis yang tegak lurus terhadap ruas garis yang menghubungkan kedua pelampung yaitu AB dan membagi ruas garis AB menjadi dua bagian sama panjang seperti digambarkan sebagai berikut.

4)     Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.     Memeriksa dengan pembuktian : buktikan teorema 2.3 berdasarkan masalah tersebut secara deduktif

b. Menginterpretasikan penyelesaian permasalahan ini berdasarkan argumentasi (reasonable) dengan menggunakan koordinat dan aljabar

Misalkan koordinat titik C(x, y) di mana d_CA = d_CB dengan koordinat A(x_a, y_a) dan B(x_b, y_b) maka dapat dibuktikan untuk posisi C di C₁(x₁, y₁), C₂(x₂, y₂), … Cn(x_n, y_n) yaitu : (a) jika ruas garis AB tegak lurus sumbu x maka y₁ = y₂ = … = y_n

(b) jika ruas garis AB tegak lurus sumbu y maka x₁ = x₂ = … = x_n

Selanjutnya harus dibuktikan bahwa garis C₁C₂ tegak lurus AB

Dengan bantuan geogebra dapat dilakukan simulasi untuk menunjukkan solusi  untuk tiga posisi C yang berbeda-beda sebagai berikut.